What is the difference between 気分 and 気持ち ?Feel free to just provide example sentences.

「気分」と「気持ち」は、交換して使える場合もありますが、以下のような違いが考えられます。

例：
「気分が悪い」
「気持ちが悪い」
身体の具合がわるいために、吐き気がしたり、めまいがしたり、頭がくらくらしたり、そういう意味を表すことがあります。この意味のときには、どちらも自然です。

しかし、
「気持ちが悪い」
は、何かを見たり、聞いたり、触ったりした結果、不快な感覚を得ることや、そのものを表すのに用いられることがあります。例えば、「蛇やムカデは、気持ち悪い。」「気持ちが悪い生き物の例といえば、ムカデを思い出す。」のように使います。この例では、「気分」は使えません。

また、
「気分が悪い」
は、嫌なことがあって、不快な感覚になる場合に使われることがあります。例えば、「遅刻して叱られるのは、気分が悪いものだが、叱る方もやはり気分が悪い。」という文です。この意味のときに、「気持ちが悪い」も可能ですが、「気分」の方が合います。

例：
「気持ちが良い」
「気分が良い」
これらは、次のような場合に、使い分けられます。

「風邪が治って、気分が良くなった」
風邪に伴う、不快な感覚が消えたことを意味します。この例では、「気持ちが良い」は使いません。

「気持ちのよい、よく晴れた空」
見て心地よい感覚になる、青い空のことです。この例では、「気分が良い」は使いません。

「ホームランのとき、カーンという、気持ちの良い音がした。」
この用途でも、「気分」は使いません。

「礼儀正しくて、気持ちの良い好青年だ。」
接する人に心地よい感覚を与えるような、良い青年という意味です。このような例では、「気分」は使いません。

例：
「気持ちが伝わる」
「気分が伝わる」
これらは意味が異なります。この場合の「気持ち」は、「思い」という意味です。一方、「気分」にはその意味はなく、「気分が伝わる」ということは少ないです。もし「気分が伝わる」というと、自分の心持ちや感覚が、表情や動作などによって相手に伝わることになります。例えば、「気持ちの伝わる贈り物」といえば、相手に対する友情や愛情や尊敬などの気持ちが伝わる贈り物という意味になりますが、その意味で「気分」は使えません。

例：
「君の気持ちが知りたい」
「君の気持ちを知りたい」
これらの文では、「気持ち」は、上記と同様に「思い」のことであり、その意味では「気分」は使えません。一例としては、恋愛などで、相手の自分に対する感情を知りたいときにも使うことがあります。もし「気分を知りたい」というと、身体の具合を心配しているなど、他の意味になります。

例：
「私の気持ちです」
「ほんの気持ちです」
これらの文は、人に物をあげるときに、謙遜するのに使うことがあります。この用途で、「気分」は使えません。

例：
「今日はビールを飲みたい気分だ。」
この意味のときに、「飲みたい気持ちだ」というと、より明確な考えがある感じになります。
ちなみに、「ビールを飲みたい気分だ」は、単に、「ビールを飲みたい」というよりも、自分の心持ちに重点のある言い方になります。結局は同じ意味のことも多いですが、感覚的に使い分けることもあります。

例：
「もう少し右ね」
「これでいいですか？」
「もうちょい、気持ち右」
このように、「少しだけ」という意味を表すのに、「気持ち」を用いることがあります。「気分」にはその意味はありません。これはスラング的な使い方ですが、辞書にも載っています。